Le modèle surrogate est construit dans un espace réduit obtenu par projection sur une base de modes orthogonaux. Traditionnellement, la Décomposition Orthogonale aux Propre (POD) est utilisée pour identifier ces modes, permettant ainsi une réduction significative de la dimensionnalité. Cependant, bien que la projection elle-même soit linéaire, la reconstruction de la solution complète nécessite souvent des corrections non linéaires supplémentaires pour capturer les corrélations complexes entre les modes.

Des recherches récentes ont exploré différentes approches pour améliorer la précision de la reconstruction :
- Approximations quadratiques des corrélations non linéaires des coefficients POD [1], ou plus généralement des approximations polynomiales [4],
- Sélection intelligente des modes POD [6] afin de minimiser l'erreur de reconstruction,
- Application d'un opérateur de rotation sur la base POD [4],
- Utilisation de réseaux de neurones pour corriger la projection à partir des modes POD dominants [2].

Remarques:
- Bien que la projection dans l'espace réduit soit linéaire via une base orthogonale, la reconstruction de la solution dans l'espace complet nécessite des corrections non linéaires.
- Les modes POD qui capturent le mieux les dépendances non linéaires ne sont pas nécessairement ceux ayant la plus grande importance énergétique.
- La base orthonormale optimale pour la reconstruction peut différer de la base POD conventionnelle.

Objectifs de recherche
Le projet adopte une approche double :

1. Apprentissage des corrections non linéaires sans a priori spécifique
Plutôt que d'imposer une structure fixe, comme un modèle polynomial, aux termes de correction, nous proposons d'exploiter les capacités d'approximation universelle des réseaux de neurones pour modéliser les dépendances non linéaires entre les modes orthogonaux [2]. L'apprentissage conjoint de la base orthonormale et de la correction non linéaire peut conduire à un problème d'optimisation sous-contraint. Pour y remédier, nous intégrons une fonction de perte prédictive qui évalue à la fois la reconstruction et la performance prédictive, guidant ainsi l'optimisation vers une base orthonormale optimale adaptée aux deux tâches.

2. Amélioration de la généralisation via une perte basée sur les résidus
Une fonction de perte basée sur les résidus des équations RANS sera introduite, avec une rétropropagation des gradients à travers un solveur RANS différentiable (comme BROADCAST [5]). Cette perte, calculée sur des données nouvellement générées qui reflètent une distribution a priori des géométries et des conditions de fonctionnement (ex. conditions aux limites, conditions totales, etc.), enrichira la base modale en intégrant des caractéristiques difficiles à capturer, comme les ondes de choc ou d'autres phénomènes d'écoulement complexes. À cette fin, l'ensemble de données open-source VKI-LS59 sera utilisé [3].

- Expérience en simulations numériques et en dynamique des fluides (RANS).
- Familiarité avec les techniques de réduction de modèle, telles que la POD.
- Expérience de base avec les réseaux de neurones et la programmation différentiable avec PyTorch.
- Maîtrise de la programmation en Python.
- Capacité à travailler de manière autonome et en collaboration dans un environnement de recherche.